齒形成立的必要條件 (機動學條件):
Camus 定理

a. 為了要維持一定的轉速比,齒輪齒形在接觸傳動時,其任何時點的共法線必定通過定點 P (節點 )。
b. 齒輪齒形在接觸傳動時,其接觸點 Q 落在節點 P 以外的範圍時,稱其傳動為擦動接觸傳動 (Sliding Contact)。而在接觸傳動其接觸點 Q 正好落在節點 P 上之瞬間時,稱其傳動為純滾動接觸傳動 (Pure Rolling Contact)。
c. 齒輪齒形之接觸傳動,可視為兩個假想節圓,做連續性的純滾動傳動 (Pure Rolling Contact)。
是故,成為齒形曲線會有以下性質:
接觸點 Q 之共法線一定要通過節點 P ( 定點 ),否則無法維持一定的轉速比。
通常運動中的齒輪,其接觸點 Q 不會停留在節點 P 上,只會瞬時經過 P 點,其他時間均在 P 以外的範圍運動。

經過卡謬與歐拉 (李昂哈德 ‧ 歐拉,Leonhard Paul Euler,1707~1783,是一位瑞士數學家和物理學家,近代數學先驅之一,他一生大部分時間在俄國和普魯士度過。歐拉在數學等的多個領域上,包括微積分和圖論都做過重大貢獻。他引進的許多數學術語和書寫格式,例如函數的記法”f(x)”,一直沿用至今。此外,他還在力學、光學和天文學等學科有突出的貢獻 ) 等大師的努力,對擺線齒形的研究已經相當透徹。

不過,此時仍未進入齒輪互換的課題。因定義之故,擺線齒輪中,多齒數齒輪與少齒數齒輪在齒形上是不同的,兩者不具有互換性。

英國劍橋大學教授羅伯特·威利斯牧師 (Robert Willis,1800~1875) 是一位英國語文的學者。他也是第一位獲得廣泛認可的機械工程師的劍橋教授,並且首先在一個令人景仰的基礎上進行元音 (發聲學的母音) 的科學研究。現在威利斯因其廣泛的建築著作(包括關於劍橋大學建築結構的四卷論文) 而廣為人知。

威利斯深入瞭解了卡謬與歐拉對擺現齒形的研究擺線齒輪是由一個小圓滾一個大圓 (基礎圓,也是節圓 ) 所產生的曲線,若齒數增加,就要換用不同直徑的大圓,所得的曲線自然不同,也難怪不具互換性。當齒數小於 15 齒時,最合適的壓力角為 15 度;而齒形曲線會因為模數、齒數、壓力角,而有所不同。
威利斯因此建議:在相同節距的條件下,對節圓以上的齒形 ( 齒冠部份 ) 採用外擺線,對節圓以下的齒形 ( 齒根部份 ) 採用內擺線,以這樣複合曲線來處理,就可以解決互換性的問題 ( 如下圖 )。

於是,威利斯設計出複合擺線齒形的繪製儀 (Odontograph),再透過美國 Brown & Sharp 公司工程師 O. J. Beale 著作《Beale’s Book on Gear Wheels》與《Practical Treaties on Gearing》兩書,以
及設計出可以製作擺線齒輪樣板銑刀 (Form milling cutter) 的 Odontograph machine 和 Odontengine,至今仍為擺線齒形的設計標準。也由於 Beale,美國 Brown & Sharp,以及 Pratt & Whitney 等公司的努力,使得擺線齒輪具有優勢的地位,甚至壓制並減緩了漸開線齒輪的普及與發展的時程。

在實務上,人們則以數齒為一組,在此範圍內採用相同的齒形,組與組之間則稍予重疊,如此簡化了齒形的複雜度。舉例而言,12~16、16~20、20~24、24~28 各為一組,使用相同齒形。其中,16、20、24 則為兩兩重疊者。齒輪製造完成之後,為達到順利運轉的目標,必須先讓齒輪對相互磨合運轉 (稱為對磨,Lapping) 後才能予以出廠。

也因為各種齒數區間的齒形之不同,製造者與設計者無法以簡馭繁。當時將這種徒然耗費時間的作為,視為理所當然。其實這種現象已經涉及到工業運用上的效率問題,待日後工業需求增加時,勢必成為生產的瓶頸與阻礙。這時就必須另外設法來解決這個現實的課題。

另一方面,由 1765 年瑞士數學家兼物理學歐拉,研究出互相咬合的齒輪,其齒形曲線的曲率半徑和曲率中心位置的關係。由於歐拉尚不知海爾與卡謬的研究成果,遂以獨自的研究途徑在 1754 與 1765 提出了論文。歐拉的研究,其特殊貢獻在於對一組咬合狀態中齒輪齒形曲線之曲率半徑,以及曲率中心的解析,對日後齒形理論提供很大的貢獻。

歐拉曾提出一種齒面是純滾動的齒形,不過卻發現這樣的齒形卻無法達到等速運轉的基本應用要求,亦即運轉不穩定,所以無實用價值。但是形齒面之滾動與擦動關係,即正確齒形之咬合必定是擦動接觸這件事,卻是歐拉最早發現的,這個發現事後更證明漸開線 (Involute) 曲線,也符合了齒形成立的條件(Camus 定理 )。

(下期待續)