其後薩瓦里 (Félix Savary,1797~1841,法國天文學家 ) 完備了這一關係,形成了現在使用的 Euler-Savary 方程式。以機動學 (Kinematics,機械運動學) 速度分析中的瞬心法 (Instant center method) 在曲線上的一點,和通過此點的圓,當此點於曲線上及圓上具有相同的切線時,此圓心稱為此曲線上該點的曲率中心。在機動學中稱該點為瞬心 (Instant center),此點的曲率中心以及
曲率半徑,以 Euler-Savary 方程式便可以很容易地找到。

除了海爾和歐拉之外,許多學者也注意到漸開線齒形有特殊的優點。比方說,在西元 1838 年,J. I. Hawkins (John Isaac Hawkins,霍金斯,1772-1855,英格蘭人,其後移民美國,是一位發名家。直立式鋼琴也是他的改良發明之一) 說明漸開線齒輪對於軸承之壓力較小,受到了學界的認同。威利斯則指出,當漸開線齒輪中心距離略微變化時,不影響其咬合傳動誤差,仍能維持正確之比數回轉。之後,由霍金斯提倡漸開線曲線的優點;從此奠定了漸開線齒形的基礎。

1873 年,德國工程師 Paul Hoppe 研究出不同齒數的齒輪在壓力角改變時的漸開線齒形,更進一步地開拓並奠定轉位齒輪的發展基礎 (如右圖)。
但是,受到擺線齒輪既有意識形態的影響,此時的齒輪製造,並未發展出後來的創生切齒法,而仍採用一齒一齒單獨銑製的樣板銑刀。

Brown & Sharp 公司就推出了漸開線的樣板銑刀。光就以相同 12 齒~齒條所需的樣板銑刀來比較,擺線齒輪需要 12 組樣板銑刀,而漸開線則只需 8 組就足夠,省事多了。當然,以樣版刀銑製出的漸開線齒輪,在出廠前也必須和擺線齒輪一樣,經過對磨的程序。

當時齒輪的製造多為鑄造齒輪,方法是先以雕出齒輪的木模然後再翻砂鑄造,此時木模上齒形的正確與否非常重要。等到翻砂鑄造完成之後,再透過樣板銑刀對齒形做最後的修整。
漸開線齒輪的許多詳細尺寸比例,其訂定過程也經過一番折騰。比方說,攸關齒的大小,有模數 (Module, M) 與徑節 (Diameter pitch, D.P.) 兩種描述法。D.P. 的產生,是威利斯為了避免節圓直徑 D(Pitch diameter) 變成無理數,因而實務上難以處理,故採用”齒數 Z 除以節圓直徑 D”(Z/D) 之 D.P. 值來描述齒的大小。而徑節 D.P. 的倒數 ( 亦即 D/Z) 就是模數 M,推展英制 D.P. 的威利斯雖
為英國劍橋大學教授,但到現今英國卻少用D.P.,而採用公制的模數 M,反倒美國仍繼續使用英制 D.P. 系統。

最早提及模數 M 的,據說是 1857 年德國人 Mikroletzky。他將節距 (Circular pitch) 除以 π(即 Pc/π),並將之稱為基本數。若將此數取為整數,就可以使節圓直徑成為整數,非常方便。德國的 DIN 在 1927年訂立模數標準。
力量傳達的壓力角 (Pressure angle),也是另外一例。雖說 Euler 提出壓力角介於 10° ~ 30° 之間,而威利斯認為是 14.5°,其理由是 sin (14.5°) ≒ 1/4。也有人以導螺桿採用 29°,故制定蝸輪壓力角為其一半的14.5°…,不一而足。

弗朗茲·魯勞 (Franz Reuleaux,1829 ~1905) 是德國機械工程師,也是柏林皇家技術學院的講師,後來被任命為該學院院長。
他被稱為運動學之父,對齒輪的發展有很深的貢獻。他研究 — 齒輪胚體上的作用軌跡,對齒輪負荷能力的影響,並在以此為基礎的研究中,發現漸開線齒輪是最先進與突出的。魯勞因為他在 1861 年出版的教科書“Construction”( 針對械工程設計及齒輪對的運動為主題 ) 而變得有名。

喬 治· 巴納德· 格蘭特 (George Barnard Grant,1849 ~ 1917,是美國的機械工程師,發明家,企業家和植物學家。在齒輪加工方面開拓了新技術,並創立了幾家成功的公司。格蘭特被譽為“美國齒輪加工業之父”)認為,漸開線齒輪在工作性、磨損性、組裝誤差等方面優於擺線齒輪。更由於漸開線是單一曲線 (Single curve) 齒輪,不同於擺線齒輪的複合曲線 (Duplex curve) 齒輪,所以漸開線
齒輪應該可以一氣呵成的製造。換言之,格蘭特所提出的 Generating Cutting method,也就是創生切齒法的提出,有別於當時齒輪加工法的主流 — 樣板刀切齒法,更展現出漸開線創生切齒法的優異性。漸開線齒輪遂一躍而成為最易加工、加工精度最高的齒形。

於是漸開線齒輪取代擺線齒輪而成為業界唯一的選擇,終於使漸開線齒形走上了大規模生產的道路。漸開線齒形的逐漸普及,甚至代替了擺線齒形,成為齒形曲線的主流。進入二十世紀中葉以後,尤其對近代的工業界而言,提起齒形曲線,若不特別聲明,就表示為漸開線齒形。下圖為實際的漸開線齒輪( 左 ) 與擺線齒輪 ( 右 )

(下期待續)