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其後薩瓦里 (Félix Savary，1797~1841，法國天文學家 ) 完備了這一關係，形成了現在使用的 Euler-Savary 方程式。以機動學 (Kinematics，機械運動學) 速度分析中的瞬心法 (Instant center method) 在曲線上的一點，和通過此點的圓，當此點於曲線上及圓上具有相同的切線時，此圓心稱為此曲線上該點的曲率中心。在機動學中稱該點為瞬心 (Instant center)，此點的曲率中心以及
曲率半徑，以 Euler-Savary 方程式便可以很容易地找到。

除了海爾和歐拉之外，許多學者也注意到漸開線齒形有特殊的優點。比方說，在西元 1838 年，J. I. Hawkins (John Isaac Hawkins，霍金斯，1772-1855，英格蘭人，其後移民美國，是一位發名家。直立式鋼琴也是他的改良發明之一) 說明漸開線齒輪對於軸承之壓力較小，受到了學界的認同。威利斯則指出，當漸開線齒輪中心距離略微變化時，不影響其咬合傳動誤差，仍能維持正確之比數回轉。之後，由霍金斯提倡漸開線曲線的優點；從此奠定了漸開線齒形的基礎。

1873 年，德國工程師 Paul Hoppe 研究出不同齒數的齒輪在壓力角改變時的漸開線齒形，更進一步地開拓並奠定轉位齒輪的發展基礎 (如右圖)。
但是，受到擺線齒輪既有意識形態的影響，此時的齒輪製造，並未發展出後來的創生切齒法，而仍採用一齒一齒單獨銑製的樣板銑刀。

Brown & Sharp 公司就推出了漸開線的樣板銑刀。光就以相同 12 齒～齒條所需的樣板銑刀來比較，擺線齒輪需要 12 組樣板銑刀，而漸開線則只需 8 組就足夠，省事多了。當然，以樣版刀銑製出的漸開線齒輪，在出廠前也必須和擺線齒輪一樣，經過對磨的程序。

當時齒輪的製造多為鑄造齒輪，方法是先以雕出齒輪的木模然後再翻砂鑄造，此時木模上齒形的正確與否非常重要。等到翻砂鑄造完成之後，再透過樣板銑刀對齒形做最後的修整。
漸開線齒輪的許多詳細尺寸比例，其訂定過程也經過一番折騰。比方說，攸關齒的大小，有模數 (Module, M) 與徑節 (Diameter pitch, D.P.) 兩種描述法。D.P. 的產生，是威利斯為了避免節圓直徑 D(Pitch diameter) 變成無理數，因而實務上難以處理，故採用”齒數 Z 除以節圓直徑 D”(Z/D) 之 D.P. 值來描述齒的大小。而徑節 D.P. 的倒數 ( 亦即 D/Z) 就是模數 M，推展英制 D.P. 的威利斯雖
為英國劍橋大學教授，但到現今英國卻少用D.P.，而採用公制的模數 M，反倒美國仍繼續使用英制 D.P. 系統。

最早提及模數 M 的，據說是 1857 年德國人 Mikroletzky。他將節距 (Circular pitch) 除以 π(即 Pc/π)，並將之稱為基本數。若將此數取為整數，就可以使節圓直徑成為整數，非常方便。德國的 DIN 在 1927年訂立模數標準。
力量傳達的壓力角 (Pressure angle)，也是另外一例。雖說 Euler 提出壓力角介於 10° ~ 30° 之間，而威利斯認為是 14.5°，其理由是 sin (14.5°) ≒ 1/4。也有人以導螺桿採用 29°，故制定蝸輪壓力角為其一半的14.5°…，不一而足。

弗朗茲·魯勞 (Franz Reuleaux，1829 ~1905) 是德國機械工程師，也是柏林皇家技術學院的講師，後來被任命為該學院院長。
他被稱為運動學之父，對齒輪的發展有很深的貢獻。他研究 -- 齒輪胚體上的作用軌跡，對齒輪負荷能力的影響，並在以此為基礎的研究中，發現漸開線齒輪是最先進與突出的。魯勞因為他在 1861 年出版的教科書“Construction”( 針對械工程設計及齒輪對的運動為主題 ) 而變得有名。

喬 治· 巴納德· 格蘭特 (George Barnard Grant，1849 ~ 1917，是美國的機械工程師，發明家，企業家和植物學家。在齒輪加工方面開拓了新技術，並創立了幾家成功的公司。格蘭特被譽為“美國齒輪加工業之父”)認為，漸開線齒輪在工作性、磨損性、組裝誤差等方面優於擺線齒輪。更由於漸開線是單一曲線 (Single curve) 齒輪，不同於擺線齒輪的複合曲線 (Duplex curve) 齒輪，所以漸開線
齒輪應該可以一氣呵成的製造。換言之，格蘭特所提出的 Generating Cutting method，也就是創生切齒法的提出，有別於當時齒輪加工法的主流 -- 樣板刀切齒法，更展現出漸開線創生切齒法的優異性。漸開線齒輪遂一躍而成為最易加工、加工精度最高的齒形。

於是漸開線齒輪取代擺線齒輪而成為業界唯一的選擇，終於使漸開線齒形走上了大規模生產的道路。漸開線齒形的逐漸普及，甚至代替了擺線齒形，成為齒形曲線的主流。進入二十世紀中葉以後，尤其對近代的工業界而言，提起齒形曲線，若不特別聲明，就表示為漸開線齒形。下圖為實際的漸開線齒輪( 左 ) 與擺線齒輪 ( 右 )

(下期待續)